On the Basic Properties and the Structure of Power Cells

Abstract Given a set $$T\subseteq {\mathbb {R}}^{n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>⊆</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> and a nonnegative function r defined on T , we consider the power of $$x\in {\mathbb {R}}^{n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> with respect to the sphere with center $$t\in T$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and radius $$r\left( t\right) ,$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mfenced> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> that is, $$ {p_r\left( x,t\right) }:=\left\| x-t\right\| ^{2}-r^{2}\left( t\right) ,$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msub> <mml:mfenced> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mfenced> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mfenced> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> with $$\left\| \cdot \right\| $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mfenced> <mml:mo>·</mml:mo> </mml:mfenced> </mml:math> denoting the Euclidean distance. The corresponding power cell of $$s\in T$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is the set $$\begin{aligned} C_{T}^{r}(s):=\{x\in {\mathbb {R}}^{n}:{ p_r}(x,s)\le {p_r}(x,t),\ \text{ for } \text{ all }\ t\in T\}. \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mtext>for</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mtext>all</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> We study the structure of such cells and investigate the assumptions on r that allow for generalizing known results on classical Voronoi cells.